|
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA |
\documentclass{enunciado}
\newtheorem{teo}{Teorema}[section]
\newtheorem{cor}[teo]{Corolario}
\newtheorem{lema}[teo]{Lema}
\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo}[section]
\newtheorem{prop}[teo]{Proposición}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[teo]{Definición}
%\theoremstyle{remark}
\newtheorem{obs}[teo]{Observación}
\numberwithin{equation}{section}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
\materia{Implementacion de operadores para estructuras diferenciales discretas en variedades trianguladas, sus propiedades locales y globales para VTK con ITK}
\departamento{Proyecto de investigación}
\tipo{Revisión Bibliográfica}
\fecha{\today}
\begin{document}
\titulo
\begin{center}
Camilo Rey ([email protected])
\end{center}
\begin{instrucciones}{Introducci\'on}
El presente documento contiene la revisión bibliográfica para un proyecto de investigación y desarrollo que de la facultad de ingeniería y ciencias básicas en el área de geometría computacional y geometría diferencial discreta. El documento se divide en tres partes: (1) Una presentación del problema a tratar, (2) las técnicas involucradas y (3) las herramientas computacionales a utilizar.
\end{instrucciones}
\section{El problema a tratar}
La descripción de objetos geométricos complicados que varían en el tiempo y que no son describibles de manera simple por funciones sencillas o utilizando operaciones elementales de álgebra lineal o la geometría plana es la tarea de la geometría diferencial\cite{Morita01DifferentialForms}. Ésta define una nueva gama de construcciones y operaciones para tratar con objetos que pueden ser construidos de manera implícita, de manera explicita por unión de varios objetos geométricos y permite estudiar propiedades tanto locales y globales de éstos aprovechando el lenguaje y las operaciones del cálculo.
\\\\
A partir de la definición de una \emph{variedad} y la construcción de una estructura diferencial sobre ésta se puede recrear el cálculo vectorial en objetos geométricos multidimensionales permitiendo el estudio de propiedades locales y globales, invariantes topológicos y principios físicos de manera ordenada y concisa introduciendo los tensores y los campos vectoriales para reescribir teoremas importantes como el teorema de Stokes\cite{marsden88TensorAnalysis}.
\\\\
Sin embargo, la aplicación de éstos métodos y herramientas en un contexto computacional, con miras a la simulación de fenómenos físicos y biológicos no es una tarea trivial\cite{Desbrun05DiscreteForms}. En efecto, la reconstrucción de éstos debe hacerse por medio de discretizaciones de operaciones y de los objetos a tratar de modo tal que la solución de problemas involucrando ecuaciones diferenciales parciales y principios variacionales tiene que tomar en cuenta errores numéricos y estabilidad de los cálculos, labor que a veces dificulta la creación de soluciones rápidas.
\section{Un poco de información acerca de cálculo exterior discreto}
Una alternativa que intenta reducir la brecha entre lo continuo y lo discreto es la reconstrucción de la estructura de variedad diferenciable en términos de elementos \emph{computacionalmente amables} es el \emph{cálculo exterior discreto}. En este, se aprovecha la estructura de una malla triangulada como última expresión de un objeto geométrico para reconstruir la estructura de formas diferenciales y campos vectoriales sobre vértices, aristas, caras y tetraedros de la geometría exterior continua y aprovechar ésta para reconstruir los operadores diferenciales y teoremas de la geometría de formas.
\\\\
En el centro de toda la teoría del DEC se encuentra la noción de un símplice: un conjunto especial de puntos en $\mathbb{R}^n$. A grandes rasgos un símplice cubre todos los elementos constitutivos de un objeto geométrico discreto de manera sencilla.
\begin{defn}[Símplice]
Un $k$-símplice es la la envoltura convexa de $k+1$ puntos $\mathbf{v}_0,\ldots,\mathbf{v}_{k} \in\mathbb{R}^n$. A saber, si $\sigma^{(k)}$ es un $k$-símplice:
\begin{equation}\label{eq:definicionSimplice}
\sigma^{(k)}=[\mathbf{v}_0,\ldots,\mathbf{v}_{k}]=\left\{\sum_{i=0}^k\alpha_i\mathbf{v}_i: \alpha_i\geq 0, \alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_k=1\right\}
\end{equation}
para $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\in\mathbb{R}^n$. El número $k$ se llama la dimensión del símplice.
\end{defn}
Un complejo simplicial o una malla triangulada en este sentido es un conjunto de símplices que satisfacen algunas propiedades. Todos los operadores del DEC pueden reducirse a cuentas sobre símplices y dependen de la dimensión
de éstos.
\begin{defn}[Complejo simplicial]
Una colección $\Sigma$ de símplices en $\mathbb{R}^n$ se dice que forma un complejo simplicial si:
\begin{enumerate}
\item La colección $\Sigma$ es cerrada bajo la operación de \emph{frontera}.
\item Si $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma$, bien $\sigma_1\cap\sigma_2=\emptyset$ o $\sigma_1\cap\sigma_2\in\Sigma$
\end{enumerate}
\end{defn}
La frontera de un símplice se puede definir en términos de conjuntos de símplices de menor dimensión. Para clarificar ésto y permitir la introducción del operador fundamental del DEC (el diferencial) es necesario introducir la noción de una $k$-\emph{cadena}\cite{Hirani03DECThesis}:
\begin{defn}[El espacio de las $k$-cadenas]
Si $\Sigma$ es un complejo simplicial, el conjunto de las sumas formales de los $k$-símplices de $\Sigma$. A saber:
\begin{equation}\label{eq:cadenas}
\mathcal{C}^{k}=\left\{\sum_{\sigma^{(k)}\in\Sigma}c_{\sigma^{(k)}}\sigma_{(k)}: c_{\sigma^{(k)}}\in\mathbb{R}\right\}
\end{equation}
\end{defn}
A través de las cadenas se puede tratar con las operaciones diferenciales como transformaciones de tuplas (las $k$-cadenas) que satisfacen a veces propiedades lineales -para el operador de frontera-. Estas sumas formales permiten incluir en el cálculo de diferentes cantidades la noción de \emph{orientación} de un símplex y permiten definir las formas diferenciales discretas de manera sencilla.
\begin{defn}[La frontera de un $k$-símplex]
Si $\sigma^{(k)}$ es un $k$-símplex en la forma de la ecuación \ref{eq:definicionSimplice}, su frontera $\partial{\sigma^{(k)}}$ es una $k-1$-cadena definida como:
\begin{equation}
\partial{\sigma^{(k)}}=\sum_{i=0}^k(-1)^{i}[\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{\hat{v}}_i,\ldots,\mathbf{v}_n]
\end{equation}
donde $[\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{\hat{v}}_i,\ldots,\mathbf{v}_n]$ denota que el $i$-ésimo punto ha sido removido.
\end{defn}
El operador de frontera es un operador lineal actuando sobre $k$-Cadenas y que toma valores en las $k-1$-cadenas. En este sentido es preciso añadir al operador el \emph{orden} de los símplices sobre los cuales actúa:
\begin{equation}
\partial_k:\mathcal{C}^{k}\longrightarrow\mathcal{C}^{k-1}
\end{equation}
dado que este operador es lineal y en general se trabaja con complejos simpliciales compactos de tamaño finito\cite{Hirani03DECThesis,Desbrun05DiscreteForms,Schroeder05BuildingYourOwnDEC} es posible describir este operador como una \emph{transformación lineal}. A saber como una matriz de tamaño $|\mathcal{C}^{k}|\times |\mathcal{C}^{k-1}|$.
\\\\
Una forma diferencial se puede pensar como una función que actúa sobre $k$-cadenas \emph{extrayendo} las componentes de ésta para efectuar operaciones sobre ésta (de manera similar a como las formas diferenciales actúan sobre componentes de vectores en el espacio tangente a una variedad en la geometría exterior contínua). A saber,
\begin{defn}[$k$-forma diferencial]
Si $\Sigma$ es un complejo simplicial y $\Omega^{k}$ es el conjunto de las $k$-formas y, $\omega\in\Omega^{k}(\Sigma)$:
\begin{equation}\label{eq:definicionFormaDiferencial}
\omega: \mathcal{C}^k\rightarrow\mathbb{R}
\end{equation}
es una $k$-forma diferencial.
\end{defn}
Podemos establecer una relación de \emph{dualidad} entre las $k$-cadenas y las $k$-formas\cite{Hirani03DECThesis} de la misma manera que se establece un paralelo entre vectores tangentes y $k$-formas en el caso de la geometría exterior contínua\cite{Morita01DifferentialForms}. En particular, si puede pensar en el espacio de las $k$-cadenas como el grupo abeliano libre generado por los $k$-símplices de un complejo, se puede pensar en el espacio de $k$-formas como el grupo abeliano libre -cuasi espacio vectorial- generado por una gama de formas sencillas que permiten simplemente extraer componentes de las $k$-cadenas:
\begin{equation}
\omega_{\sigma^{(k)}}(\eta^{(k)})=
\begin{cases}
1, & \sigma^{(k)}=\eta^{(k)}\\
0, & \text{d.l.c}\\
\end{cases}
\end{equation}
donde $\sigma^{(k)},\eta^{(k)}\in\Sigma$. En particular, si $\sigma^{(k)}_1,\sigma^{(k)}_2,\ldots,\sigma^{(k)}_{n_k}\in\Sigma$ son todos los $k$-símplices en él, se puede pensar que
\begin{equation}\label{eq:espacioDeLasKCadenas}
\Omega^{(k)}=span_{\mathbb{R}}\left\{\sigma^{(k)}_1,\sigma^{(k)}_2,\ldots,\sigma^{(k)}_{n_k}\right\}
\end{equation}
Este tratamiento de las $k$-formas en relación con las $k$-cadenas permite la definición de una \emph{acción} de las $k$-formas sobre las $k$-cadenas de forma natural:
\begin{defn}[Acción de una $k$-forma sobre una $k$-cadena]
Si $c=\alpha_1\sigma^{k}_1+\ldots+\alpha_1\sigma^{k}_p\in\mathcal{C}^{k}$ es una $k$-cadena y $\omega = \beta_1\omega_1+\ldots+\beta_p\omega_p$ es una $k$-forma diferencial (en el sentido de la ecuación \ref{eq:espacioDeLasKCadenas}) tenemos que la \emph{acción} de $\omega$ sobre $c$ se hace en el sentido de la integral de $\omega$ sobre $c$:
\begin{equation}
\int_c\omega = \langle\omega,c\rangle = \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\beta_i
\end{equation}
\end{defn}
En este sentido y hablando en términos de programación, tanto las $k$-formas como las $k$-cadenas pueden pensarse como arreglos de números asociados a elementos constitutivos de una malla(vértices, aristas, caras y tetraedros) sobre los cuales se arregla un producto interno y el tratamiento de la situación se hace exclusivamente en $\mathbb{R}^{n}$ para un $n$ suficientemente grande\cite{Schroeder05BuildingYourOwnDEC,Hirani03DECThesis,Desbrun05DiscreteForms}.
\\\\
Más aún, la aceptación del teorema de Stokes en el contexto del DEC permite la definición del operador diferencial entre formas, uno de los elementos básicos de la geometría exterior contínua\cite{marsden88TensorAnalysis,Munkres91,Robidoux03adiscrete}. El teorema de Stokes involucra la integración de una forma diferencial sobre la frontera de una variedad con la integral del diferencial de la forma sobre toda la variedad. A saber:
\begin{teo}[Teorema de Stokes]
Si $M$ es una variedad $k$-dimensional y $\omega\in\Omega^{k}(M)$ es una $k$-forma diferencial sobre $M$,
\begin{equation}
\int_{\partial{M}}\omega = \int_M d\omega
\end{equation}
donde $d\omega$ es el \emph{diferencial} de la $k$-forma.
\end{teo}
La definición del operador diferencial involucra productos tensoriales y formas alternantes (véase \cite{Morita01DifferentialForms} o \cite{marsden88TensorAnalysis} para las definiciones completas). Como operador, el operador diferencial transforma $k$-formas en $k+1$-formas y respeta las reglas usuales de una derivación: linealidad, regla del producto y regla de Leibniz.
A grandes rasgos si las $k$-formas son generalizaciones de las funciones escalares y campos vectoriales usuales en el cálculo vectorial, su operador diferencial es una generalización de los operadores de gradiente, rotacional y divergencia.
\\\\
La contraparte discreta del operador diferencial en formas se puede construir de manera muy sencilla: la transposición de matrices describiendo el operador de frontera\cite{Hirani03DECThesis,Desbrun05DiscreteForms,Hirani10DarcyFlow}. En efecto, si se piensa que las $k$-cadenas y las $k$-formas están relacionadas por medio de acciones (que se pueden considerar como productos punto en el sentido de álgebra lineal), el teorema de Stokes se puede reescribir de manera particular:
\begin{equation}
\int_{\partial{c}}\omega = \langle\omega,\partial{c}\rangle = \langle d\omega,c\rangle = \int_{c}d\omega
\end{equation}
en este sentido se habla del operador diferencial entre formas simplemente como la matriz adjunta -transpuesta en el caso real- de la matriz describiendo el operador de frontera. De este modo se tiene una cadena de operadores:
\begin{equation}
\begin{array}{ccccc}
\Omega^{0}(\Sigma) &\stackrel{d}{\rightarrow}&\Omega^{1}(\Sigma)&\ldots&\stackrel{d}{\rightarrow}\Omega^{n}(\Sigma)\\
\mathcal{C}^{n}(\Sigma)&\stackrel{\partial}{\rightarrow}&\mathcal{C}^{n-1}(\Sigma)&\ldots&\stackrel{\partial}{\rightarrow}\mathcal{C}^{0}(\Sigma)\\
\end{array}
\end{equation}
Utilizando el volúmen de cada $k$-símplice en el complejo permite definir operadores como el codiferencial $\delta$ y las estrellas de Hodge de modo tal que se puede generar una cadena de operadores relacionando vértices con aristas, caras y tetraedros. Toda esta información se resume en la gráfica ref{fig:CadenaDeOperadores}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.80\textwidth]{CadenaDeOperadores.png}
\caption{Operadores del cálculo exterior discreto. Tomado de \cite{Desbrun05DiscreteForms}.}
\label{fig:CadenaDeOperadores}
\end{figure}
Es importante notar que no solamente se incluyen los elementos naturales de una malla triangulada (los elementos del complejo simplicial) sino también sus \emph{duales} geométricos\cite{Hirani03DECThesis,Schroeder05BuildingYourOwnDEC,Desbrun05DiscreteForms} que permiten la interacción entre diferentes elementos del complejo simplicial y permiten la reescritura de distintos operadores diferenciales con miras a la construcción de ecuaciones diferenciales en problemas de simulación de fenómenos\cite{Hirani10DarcyFlow,Desbrun05DiscreteForms} y el estudio de la topología y la geometría de objetos en computación gráfica aprovechando elementos de topología diferencial y geometría Riemanniana\cite{marsden88TensorAnalysis,Robidoux03adiscrete,massey67AlgebraicTopology,Munkres91}.
\begin{thebibliography}
@book{Munkres91,
author={Munkres, J.R.},
publisher={Addision-Wesley},
series={The Advanced Book Program},
title={Analysis on Manifolds},
volume={2},
year={1991},
doi={0-201-51035-9}
}
@book{Liseikin07Grids,
author = {Liseikin, V.D.},
title = {A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation (Scientific Computation)},
year = {2007},
isbn = {3540342354},
publisher = {Springer-Verlag New York, Inc.},
address = {Secaucus, NJ, USA},
}
@Book{ Gauld82DifferentialTopology,
author = {Gauld, D.B.},
title = {Differential topology : an introduction},
isbn = {0824717090 },
publisher = {M. Dekker, New York },
pages = {241},
year = {1982},
}
@Book{Morita01DifferentialForms,
author = {Morita, S.},
title = {Geometry of Differential Forms},
publisher = {American Mathematical Society},
year = {2001},
}
@inproceedings{Desbrun05DiscreteForms,
author = {Desbrun, M. and Kanso, E. and Tong, Y.},
title = {Discrete differential forms for computational modeling},
booktitle = {SIGGRAPH '05: ACM SIGGRAPH 2005 Courses},
year = {2005},
pages = {7},
location = {Los Angeles, California},
doi = {http://doi.acm.org/10.1145/1198555.1198666},
publisher = {ACM},
address = {New York, NY, USA},
}
@PhdThesis{Hirani03DECThesis,
author = {Hirani, A.N.},
title = {Discrete Exterior Calculus},
school = {California Institute of Technology, Faculty of Engineering and Applied Science},
year = {2003},
}
@inproceedings{Schroeder05BuildingYourOwnDEC,
author = {Elcott S. and Schr\"{o}der, P.},
title = {Building your own DEC at home},
booktitle = {SCA '03: Proceedings of the 2003 ACM SIGGRAPH/Eurographics symposium on Computer animation},
year = {2003},
isbn = {1-58113-659-5},
pages = {68--73},
location = {San Diego, California},
publisher = {Eurographics Association},
address = {Aire-la-Ville, Switzerland, Switzerland},
}
@MISC{Robidoux03adiscrete,
author = {Robidoux N. and Steinberg S.},
title = {A Discrete Vector Calculus in Tensor Grids},
year = {2003}
}
@MISC{Hirani10DarcyFlow,
author = {Hirani A.N, Nakshatrala K.B, Chaudhry J.H},
title = {Numerical Method for Darcy Flow Derived using Discrete Exterior Calculus},
year = {2003}
}
@Book{marsden88TensorAnalysis,
author = {Abraham R. Marsden J.E., and Tudor R.},
title = {Manifolds, Tensor Analysis, and Applications},
publisher = {Springer-Verlag},
year = {1988},
number = {75},
series = {Applied Mathematical Sciences},
address = {New York, NY},
edition = {2nd}
}
@Book{massey67AlgebraicTopology,
author = { Massey, W.S. },
title = { Algebraic topology, an introduction},
isbn = { 3540902716 0387902716 },
publisher = { Springer-Verlag, New York},
year = { 1967 },
}
@MISC{Fedkiw08FastSurfaceReconstruction,
author = {Zhao H.K, Osher S and Fedkiw R.},
title = {Fast Surface Reconstruction Using the Level Set Method},
year = {2003}
}
\end{thebibliography}
|
