|
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN |
El anillo conmutativo de polinomios en varias variables R[x1, . . . , xn] sobre un anillo conmutativo R puede ser be generalizado al contexto no conmutativo cambiando R por un anillo no conmutativo, pero preservando las reglas básicas de multiplicación, es decir., xixj = xjxi para cada i, j y rxi = xir para cada r en R. Sin embargo, en algunas áreas de las matemáticas aplicadas como álgebra de operadores, análisis algebraico y sistemas multidimensionales lineales [9,13] es necesario considerar otras clases de anillos polinomiales para los cuales las variables no conmutan o los coeficientes no conmutan con las variables. Por ejemplo, algunas clases de anillos de polinomios torcidos [10,19], y como ejemplo más grande las skew PBW extensions que fueron introducidas dentro del grupo de trabajo SAC2 [17,19] (Seminario de álgebra constructiva en la universidad Nacional de Colombia sede Bogotá). Las skew PBW extensions representan una generalización de las PBW extensions (Poincar´e-Birkhoff-Witt) definidas by Bell and Goodearl [4] e incluyen el anillo habitual de polinomios y algunas otras clases importantes de anillos como las extensiones de Ore, álgebra envolvente de un álgebra de Lie, etc.
En este proyecto el tema fundamental son las bases de Groebner, métodos homológicos y métodos matriciales para estudiar algunos problemas homológicos sobre extensiones de Ore [10,19]. La idea es construir los teoremas fundamentales del álgebra conmutativa: el teorema de Serre y el teorema de Sicigias de Hilbert mediante la utilización de métodos de bases de Greobner no conmutativas y aplicados a estensiones de Ore, estas tesis no han sido estudiadas en la actualidad con toda la generalidad y mucho menos la idea constructiva que la hace mucho más valiosa. En sí, la tesis del teorema de Sicigias afirma que un módulo finitamente generado sobre una extensión de Ore con coeficientes en un cierto anillo R (posiblemente cuerpo) tiene resolución libre finita, este teorema implicaria una versión del teorema de Serre sobre estas extensiones de Ore, la idea es a partir de un módulo finitamente generado encontrar sobre una extensión de Ore adecuada una resolución libre finita mediante la ayuda de las bases de Groebner no conmutativas, desarrolladas y estudiadas por el grupo SAC2 (el cálculo de resoluciones ya esta desarrollado en trabajos del grupo). Cabe notar que esta teoria es nueva para la comunidad mundial dado que la teoria de bases de Groebner que hemos desarrollado en el grupo SAC2 de la nacional desde ya hace siete años es totalmente teoría propía y ya hay algunos articulos publicados por integrantes del grupo [16-21].
|
|
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA |
Bibliografía principal (citada)
[1] Buchberger, B., 1970. Ein algorithmisches Kriterium fur die Losbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems. A equationes Math. 4, 374–383.
[2] Buchberger, B., 1984. A critical pair/completion algorithm for finitely generated ideals in rings. Springer Lecture Notes in Computer Science, vol. 171. pp. 137–155.
[3] Galligo, A., Some algorithmic questions on ideals of differential operators, Springer Lecture Notes in Computer Science, vol. 204 (1985), pp. 413–421
[4] Bell, A. and Goodearl, K., Uniform rank over differential operator rings and Poincaré-Birkhoff-Witt extensons, Pacific Journal of Mathematics, 131(1), 1988, 13-37.
[5] Kunz, E., Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, 1985.
[6] Cox, D., Little, J., O'shea, D., Ideals, Varieties, and Algorithms, SpringerVerlag, 1992.
[7] Adams, W and Loustaunau, P., An Introduction to Grobner Bases, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 3 American Mathematical Society, 289 p., 1994
[8] Pauer, F., Buchberger, B., Gröbner bases in rings of differential operators, Winkler (Eds.), Gröbner Bases and Applications, Cambridge University Press, (1998)
[9] Artamonov, V., On projective modules over quantum polynomial, Journal of Mathematical Sciences, 93(2), 1999.
[10] McConnell, J. and Robson, J., Non-commutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, AMS, 2001.
[11] Bueso, J., Gomez-Torrecillas, J., Verschoren, A., 2003. Algorithmic Methods in Non-commutative Algebra. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[12] Levandovskyy, V., Non-commutatve Computer Algebra for Polynomial Algebras: Gröbner Bases, Applications and Implementation, Doctoral Thesis, Universität Kaiserslautern, 2005.
[13] Chyzak, F., Quadrat, A. and Robertz, D., Effective algorithms for parametrizing linear control systems over Ore algebras, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 16, 2005, 319-376.
[14] Lam, T.Y., Serre's problem on Projective Modules, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2006. Algebra, 42, 1200-1230
[15] Pauer, F., Gröbner bases with coefficients in rings, Journal of Symbolic Computation, Volume 42, Issues 11–12, November–December 2007, Pages 1003–1011
[16] Lezama, O., Matrix and Gröbner Methods in Homological Algebra, Lambert Academic Publishing, 2011.
[17] Gallego, C. and Lezama, O., Gröbner bases for ideals of skew PBW extensions, Communications in Algebra, 39, 2011, 50-75.
[18] Gallego, C. and Lezama, O., Matrix approach to noncommutative stably free modules and Hermite rings, Algebra and Discrete Mathematics 18 (1), 2014, 110-139.
[19] Lezama, O. and Reyes, M.A., Some homological properties of skew PBW extensions, Communications in Algebra, 42, 2014, 1200-1230
[20] Gallego, C., Gröbner basis for bijective skew PBW extensions, Preprint. 2015
[21] Artamonov, V., Fajardo, W., Lezama, O., Extended modules and rings for Ore extensions, Communications in Mathematics and Statistics (Springer journal) 2015"
|
